集合

pubDate: 2024-03-19

author: sakakibara

集合は数学の基礎概念にして、数学の基本的な対象である。集合論には素朴集合論と公理的集合論があるが、ここでは素朴集合論を前提とする。集合には、共通部分、和集合、差集合、補集合などの基本的でかつ直感的な演算が定義されるが、ここからつくられる世界は実に多様である。中には非自明な命題を導くことができ、その深さを知ることは数学の醍醐味である。

集合演算

集合 $A, B, C$ 間の演算 $\cap, \cup$ に対して以下が成り立つ。

proposition: (交換法則)

\begin{aligned} A \cap B = B \cap A \\ A \cup B = B \cup A \end{aligned}

proposition: (結合法則)

\begin{aligned} (A \cap B) \cap C = B \cap (A \cap C) \\ (A \cup B) \cup C = B \cup (A \cap C) \end{aligned}

proposition: (分配法則)

\begin{aligned} A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{aligned}

proposition: (ド・モルガンの法則)

\begin{aligned} X - (A \cup B) = (X - A) \cap (X - B) \\ X - (A \cap B) = (X - A) \cup (X - B) \end{aligned}

集合 $A, B, C, D$ 間の $\subset$ に対して以下が成り立つ。

proposition: (包含関係)

\begin{aligned} A \subset C ,\ B \subset C \implies A \cup B \subset C \\ D \subset A ,\ D \subset B \implies D \subset A \cap B \end{aligned}

proposition: (包含関係と和集合と共通部分)

\begin{aligned} A \subset A \cup B \\ A \cap B \subset A \\ \end{aligned}

こんな単純な演算から様々な場所に顔を出すいくつもの法則、—交換法則、結合法則、分配法則—がでてくるのは不思議、というか集合を基盤としているのだということを強く感じさせる。

写像演算

写像 $f: X \rightarrow Y$ , $g: Y \rightarrow Z$ , $h: Z \rightarrow W$ について

proposition: (結合法則)

h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f

proposition: (8つの命題)
$f : A \rightarrow B$ と $A_1, A_2 \subset A$ と $B_1, B_2 \subset B$ に対して

\begin{align} f(A_1 \cup A_2) &= f(A_1) \cup f(A_2) \\ f(A_1 \cap A_2) &\subset f(A_1) \cap f(A_2) \\ f^{-1}(B_1 \cup B_2) &= f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \\ f^{-1}(B_1 \cap B_2) &= f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \\ A_1 &\subset f^{-1}(f(A_1)) \\ f(f^{-1}(B_1)) &\subset B_1 \\ f(A_1) - f(A_2) &\subset f(A_1 - A_2) \\ f^{-1}(B_1) - f^{-1}(B_2) &\subset f^{-1}(B_1 - B_2) \end{align}