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pubDate: 2024-03-24

author: sakakibara

有限要素法

H1H^1適合近似

1次元の階層基本要素

Ka=(−1,1)K_a = (-1, 1)を11次元の参照区間とし、このケースでは要素内補間において関連する局所近似次数は1≤pb1\le p^bである。(unisolventを参照) 基本要素Ka1=(Ka,Wa,Σa1)\mathcal{K}_ {a}^1=(K_a, W_a, \Sigma_ {a}^1)は多項式空間

Wa=Ppb(Ka)W_a = \mathcal{P}_ {p^b}(K_a)

で定義付けられている。 ここで、Pp(e)\mathcal{P}_ {p}(e)は11次元の区間ee内に定義されたpp次の多項式空間であるとする。 WaW_aにおける階層基底は頂点関数を構成する。

ψav1(ξ)=λ2,a(ξ)=l0(ξ)ψav2(ξ)=λ1,a(ξ)=l1(ξ)\begin{aligned} \psi_ {a}^{v_1}(\xi) = \lambda_{2, a}(\xi) = l_0(\xi) \\ \psi_ {a}^{v_2}(\xi) = \lambda_{1, a}(\xi) = l_1(\xi) \end{aligned}

ここで、λ1,a\lambda_{1, a}とλ2,a\lambda_{2, a}は11次元のアフィン座標と(以前に定義した)気泡関数である。

ψk,ab=lk, 2≤k≤pb\psi_ {k, a}^b = l_k,\ 2\le k \le p^b

さらにそのうえ、気泡関数はカーネル関数をもちいて以下のように表現できる。

ψk,ab=λ1,aλ2,aϕk−1(λ1,a−λ2,a)\psi_ {k, a}^b = \lambda_{1, a}\lambda_{2, a}\phi_ {k-1}(\lambda_{1, a}-\lambda_{2, a})

一つ上の式は四角形やブロック型に対してより適切であるが、あとで、三角形や四面体に対してより自然な形で拡張する。プリズムはその両方を含む。

四角形の階層基本要素

次に、Kq1\mathcal{K}_ q^1上の任意次数の基本要素について考える。 Kq1\mathcal{K}_ q^1は以下の参照領域である。

Kq={ ξ∈R2∣−1≤ξ1,ξ2≤1 }K_q = \set{\bm{\xi} \in \mathbb{R}^2 | -1 \le \xi_1, \xi_2 \le 1}

なぜ、[−1,1][-1, 1]の区間で定義したのかというと、Jacobi多項式の自然な定義域が[−1,1][-1, 1]だからだ。
以下で定義される11次元アフィン座標λj,q, j=1,…,4\lambda_{j, q},\ j=1,\ldots, 4を使う。

λ1,q(ξ1,ξ2)=ξ1+12λ2,q(ξ1,ξ2)=1−ξ12λ3,q(ξ1,ξ2)=ξ2+12λ4,q(ξ1,ξ2)=1−ξ22\begin{aligned} \lambda_{1, q}(\xi_1, \xi_2) = \frac{\xi_1 + 1}{2} \\ \lambda_{2, q}(\xi_1, \xi_2) = \frac{1 - \xi_1}{2} \\ \lambda_{3, q}(\xi_1, \xi_2) = \frac{\xi_2 + 1}{2} \\ \lambda_{4, q}(\xi_1, \xi_2) = \frac{1 - \xi_2}{2} \\ \end{aligned}