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pubDate: 2024-05-22

author: sakakibara

economy

経済

FIX

BWIC

ラベリング

rti,0r_{t_i,0}

単純リターンラベル

動的閾値リターンラベル

トリプルバリアラベル

sideとsizeのラベル

メタラベル

iddにするための重み付け

変換/整数次差分

信号がどれほどノイズに埋もれているかを表す指標をS/N比と言う。 ノイズが多いとS/N比が小さくなる。信号成分が大きいとS/N比が大きくなる。といった具合だ。

データを定常系列に変換する方法として、整数次差分を取る方法がある。しかしこれはデータの緩やかなトレンドを取り除くことになり、データのメモリーを失うことになる。 メモリーを持つ系列とメモリーを持たない系列がある。 例えば、価格の系列はメモリーを持つ系列であり、過去の長期間の価格に大きく影響されている。一方、リターンの系列はメモリーを持たない系列であり、考えている期間以外の履歴は影響を与えない。

問題となるのは、系列が定常である方が分析が容易であるが、メモリーが消えてしまうことである。この二律背反を解決する方法として、分数次差分を取る方法である。

源系列は通常、非定常である。 リターンなどの変化率を求める方法、つまり整数次差分を取る方法ではメモリーを失ってしまう。 定常性こそが統計的な分析を行う上での前提条件であるが、メモリーが失われていると機械学習で予測することはできない。 そこで、可能な限りメモリーと定常性を保持するために、分数差分を取る方法が提案されている。

理論

バックシフト演算子をBBとし、BkXt=Xt−k ,(k≥0)B^kX_t=X_{t-k}\ ,(k\ge 0)とする。 一次差分、二次差分は

Xt−Xt−1=Xt−BXt=(1−B)Xt(Xt−Xt−1)−(Xt−1−Xt−2)=Xt−BXt−(Xt−1−BXt−1)=(1−B)Xt−(1−B)Xt−1=(1−B)(Xt−Xt−1)=(1−B)(Xt−BXt)=(1−B)(1−B)Xt=(1−B)2Xt\begin{aligned} X_t - X_{t-1} &= X_t - BX_t \\ &= (1 - B)X_t \\ \\ (X_t - X_{t-1}) - (X_{t-1} - X_{t-2}) &= X_t - BX_t - (X_{t-1} - BX_{t-1}) \\ &= (1-B)X_t - (1-B)X_{t-1} \\ &= (1-B)(X_t - X_{t-1}) \\ &= (1-B)(X_t - BX_t) \\ &= (1-B)(1-B)X_t \\ &= (1-B)^2X_t \\ \end{aligned}

一般にdd次差分は

(1−B)d=∑k=0∞(dk)(−B)k=∑k=0∞Πi=0k−1(d−i)k!(−B)k=1−dB+d(d−1)2!B2−d(d−1)(d−2)3!B3+⋯\begin{aligned} (1 - B)^d &= \sum_{k=0}^\infty \binom{d}{k}(-B)^k \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{\Pi_{i=0}^{k-1}(d-i)}{k!}(-B)^k \\ &= 1 - dB + \frac{d(d-1)}{2!}B^2 - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!}B^3 + \cdots \end{aligned}

となる。 これにより、dd次差分を取ったXˉt\bar{X}_ tは

Xˉt=∑k=0∞ωkXt−k\bar{X}_ t = \sum_{k=0}^\infty \omega_k X_{t-k}

ただし、

ωk={ 1,−d,d(d−1)2!,−d(d−1)(d−2)3!,⋯ }\omega_k = \set{1, -d, \frac{d(d-1)}{2!}, -\frac{d(d-1)(d-2)}{3!}, \cdots}

である。 ここで、d=1d=1の場合だと、

ωk={ 1,−1,0,0,⋯ }\omega_k = \set{1, -1, 0, 0, \cdots}

これは一次差分を取ったことになり、納得できる。

d=1/2d=1/2の場合だと、

ωk={ 1,−1/2,−1/42!,3/83!,⋯ }\omega_k = \set{1, -1/2, \frac{-1/4}{2!}, \frac{3/8}{3!}, \cdots}

のように計算できる。

逐次計算するにあたり、 ωk\omega_kには

ωk=−ωk−1d−k+1k\omega_k = -\omega_{k-1}\frac{d-k+1}{k}

が成り立ち、ω0=1\omega_0=1であることも用いると、これが便利である。

収束性と計算方法

ωk−1≠0\omega_{k-1}\neq 0であれば、 ∣ωk∣∣ωk−1∣=∣d−k+1k∣\frac{|\omega_k|}{|\omega_{k-1}|} = |\frac{d-k+1}{k}|が成り立つ。 差分が収束するかどうかはこの値が1より小さいかどうかに依存する。 d<kd < kの場合、dk<1\frac{d}{k} < 1であり、−1<dk−1<0-1 < \frac{d}{k} -1 < 0である。 よって、

d−k+1k=dk−1+1k<1\frac{d-k+1}{k} = \frac{d}{k} - 1 + \frac{1}{k} < 1

が成り立つ。 ωk−1=0\omega_{k-1} = 0であれば、ωk=0\omega_k = 0である。 よって、まぁ、だいたい収束する。 とは言え、無限の項を計算することはできないので、適当な項で打ち切る必要がある。

拡大ウィンドウ法

固定幅ウィンドウ法(FFD)